公务员行测考试，利润问题中最大值怎么求解？

公务员行测考试的数量关系，利润问题是常见的题型之一。这类题目通常涉及成本、售价、销量和利润等概念，要求考生计算在一定条件下的最大利润。利润问题不仅考察考生的数学运算能力，还考察其逻辑思维和分析能力。今天闪能公考来探讨如何在行测考试中求解利润问题的最大值。

一、利润问题的基本公式

1. 利润的基本公式

（1）利润 = 售价 - 成本：这是利润问题中最基本的公式。例如，如果一件商品的售价为100元，成本为80元，那么利润为 100−80=20 元。

（2）总利润 = 单件利润× 销量：总利润是单件利润与销量的乘积。例如，如果单件利润为20元，销量为100件，那么总利润为 20×100=2000 元。

2. 相关概念

（1）成本：商品的进货价格或生产成本。例如，一件商品的进货价格为80元。

（2）售价：商品的销售价格。例如，一件商品的销售价格为100元。

（3）销量：商品的销售数量。例如，一件商品的销售数量为100件。

（4）折扣：商品的折扣率。例如，商品打9折，售价为原价的90%。

二、求解最大值的方法

1. 一元二次函数法

（1）公式推导：在许多利润问题中，总利润可以表示为一元二次函数。例如，设单件利润为 x 元，销量为 a−bx 件（其中 a和 b 是常数），则总利润 P 为：

P=x×(a−bx)=ax−bx2

（2）求解最大值：一元二次函数P=ax−bx2 的最大值可以通过求导数或使用顶点公式求得。顶点公式为：x=−b/2a

代入公式求得 x 后，再计算对应的总利润 P。

2. 枚举法

（1）适用场景：当问题中的变量取值范围较小时，可以使用枚举法。例如，题目中给出售价的取值范围为10元到20元，可以逐一计算每个售价下的总利润，找出最大值。

（2）具体步骤：

确定变量取值范围：确定售价或销量的取值范围。

计算每个取值下的总利润：逐一计算每个取值下的总利润。

比较总利润：比较各个取值下的总利润，找出最大值。

3. 图形法

（1）适用场景：当问题中的关系可以通过图形直观表示时，可以使用图形法。例如，总利润与售价的关系可以表示为一条抛物线。

（2）具体步骤：

绘制图形：根据给定的关系绘制总利润与售价的图形。

找到顶点：找到抛物线的顶点，顶点对应的售价即为最大利润的售价。

计算最大利润：根据顶点对应的售价，计算最大利润。

三、具体实例分析

例题1：一元二次函数法

题目：某商店销售一种商品，成本为50元/件。市场调研发现，当售价为100元/件时，每月可售出100件；当售价每增加10元，销量减少10件。问：售价为多少时，每月利润最大？最大利润是多少？

解答：

设售价为 x 元：单件利润为 x−50元。

销量为 100−(x−100)/10×10=200−x件。

总利润 P 为：

P=(x−50)×(200−x)=200x−x2−10000+50x=250x−x2−10000

求解最大值：一元二次函数 P=−x2+250x−10000 的最大值可以通过顶点公式求得：

x=−b/2a=−250/2×(−1)=125

计算最大利润：

P=250×125−1252−10000=31250−15625−10000=5625

答案：售价为125元时，每月利润最大，最大利润为5625元。

例题2：枚举法

题目：某商店销售一种商品，成本为30元/件。市场调研发现，当售价为50元/件时，每月可售出200件；当售价每增加5元，销量减少20件。问：售价为多少时，每月利润最大？最大利润是多少？

解答：

确定售价取值范围：售价从50元到70元（假设售价不超过70元）。

计算每个售价下的总利润：

售价50元：利润 = (50 -30) × 200 = 4000元

售价55元：利润 = (55 -30) × (200 - 20) = 4800元

售价60元：利润 = (60 -30) × (200 - 40) = 5400元

售价65元：利润 = (65 -30) × (200 - 60) = 5500元

售价70元：利润 = (70 -30) × (200 - 80) = 5200元

比较总利润：最大利润为5500元，对应的售价为65元。

答案：售价为65元时，每月利润最大，最大利润为5500元。